小学数学难题分类精选
第一章牛顿问题
解题关键：牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：
1、求出每天长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量--生长的草量= 消耗原有草量)；
4、最后求出可吃天数。
1、牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。这片青草供给10头牛可以吃20天，供给15头牛吃，可以吃10天。供给25头牛吃，可以吃多少天？
分析：
如果草的总量一定，那么，牛的头数与吃草的天数的积应该相等。现在够10头牛吃20天，够15头牛吃10天，10×20和15×10两个积不相等，这是因为10头牛吃的时间长，长出的草多，所以，用这两个积的差，除以吃草的天数差，可求出每天的长草量。
①、求每天的长草量
( 10×20－15×10 )÷( 20－10 )＝ 5 (单位量)
说明牧场每天长出的草够5头牛吃一天的草量。
②、求牧场原有草量
因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，那么，10头牛去吃，每天只有10－5＝5 (头 )牛吃原有草量，20天吃完，原有草量应是：( 10－5 )×20＝100 (单位量)
或：10头牛吃20天，一共吃草量是 10×20＝200 (单位量)
一共吃的草量 －20天共生长的草量 ＝ 原有草量
200－ 100＝ 100(单位量)
③、求25头牛吃每天实际消耗原有草量
因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，25头牛去吃，(吃的－长的 ＝ 消耗原草量 )
即：25－5＝ 20 (单位量)
④、25头牛去吃，可吃天数
牧场原有草量 ÷ 25头牛每天实际消耗原有草量 ＝ 可吃天数
100÷ 20＝5 (天)
解： ( 10×20－15×10 )÷( 20－10 )
＝50÷10
＝5 (单位量)------- 每天长草量
( 10－5 )×20
＝5×20
＝100 (单位量)------- 原有草量
100÷ ( 25－5 )
＝100÷20
＝5 (天)
答：可供给25头牛吃 5天。
2、牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给20头牛吃，可以吃20天；供给100头羊吃，可以吃12天。如果每头牛每天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃几天？分析：
1头牛每天相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛就相当于4×20＝80 (只)羊吃草量。
每天长草量：
( 80×20－100×12 )÷ ( 20－12 )
＝400÷8
＝50 (单位量)
原有草量：
( 80－50 )×20
＝30×20
＝600 (单位量)
20头牛和100只羊同时吃的天数：
600÷( 80＋100－50 )
＝600÷130
＝4 (天)
答：20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃4天。
3、有三片牧场，牧场上的草长得一样密，一样快。它的面积分别是 3. 3公顷、2. 8公顷和4公顷。22头牛54天能吃完第一片牧场原有的草和新长出的草；17头牛84天能吃完第二片牧场原有的草和新长出的草。问，多少头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草？分析：
①、第一片牧场22头牛54天吃完3. 3公顷所有的草，那么，每公顷草量是(包括生长的)：
22×54÷3. 3＝ 360 (单位量)
②、第二片牧场：17头牛84天吃完2. 8公顷所有的草，那么，每公顷草量是：
17×84÷2. 8＝ 510 (单位量)
③、每公顷每天的长草量是：
( 510－360 )÷( 84－54 )＝5 (单位量)
④、每公顷原有草量是：
360－5×54＝90 (单位量)
⑤、第三片4公顷24天共有草量是：
90×4＋5×24×4＝ 840 (单位量)
⑥、可供多少头牛吃24天：
840÷24＝35 (头)
解：( 17×84÷2.8－22×54÷3.3 )÷( 84－54 )
＝150÷30
＝5 (单位量)------ 每公顷每天长草量
22×54÷3. 3－5×54
＝360－270
＝90 (单位量) -------- 每公顷原有草量
90×4＋5×4×24
＝360＋480
＝840 (单位量) -------4公顷24天共有草量
840÷24＝35 (头)
答：35头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草。
4、用3台同样的水泵抽干一个井里的泉水要40分钟；用6台这样的水泵抽干它只要16分钟。问，用9台这样的水泵，多少分钟可以抽干这井里的水？分析：
用水泵抽井里的泉水，泉水总是按一定大小不断往上涌，这就跟牧场的草一样均匀地生长，因此，把它当作牛吃草问题同解。
每分钟泉水涌出量：
( 3×40－6×16 )÷( 40－16 )
＝2 4÷24
＝1 (单位量)
井里原有水量：
( 3－1 )×40
＝2×40
＝80 (单位量)
9台几分钟可以抽干：
80÷( 9－1 )
＝80÷8
＝10 (分钟)
答：用9台这样的水泵，10分钟可以抽干这井里的水。
5、火车站的售票窗口8点开始售票，但8点以前早就有人来排队，假如每分钟来排队的人一样多，开始售票后，如果开3个窗口售票，30分钟后，不再有人排队；如果开5个窗口售票，15分钟后，不再有人排队。求第一个来排队的人是几点钟到的？分析：
到窗口排队售票的人，包括两部分，一部分是8点以前已等候的人(相似于牛吃草问题中的原有草量)，另一部分是开始售票时，逐步来的人(相似于每天长草量)，开售票窗口多少，相似于“吃草的牛”多少，售票时间相似于“牛吃草”天数。因此，按“牛吃草问题”来解答。
每分钟来排队的人：
( 3×30－5×15 )÷( 30－15 )
＝15÷15
＝1 (人)
售票前已到的人数：
3×30－1×30
＝90－30
＝60 (人)
售票前已到的人共用的时间：
60÷1＝60 (分钟)
60分钟是1小时，即第一个来排队的人是售票前1小时到达的，8－1＝7
答：第一个来排队的人是7点钟到达的。
第二章鸡兔问题
解题关健：鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一，也叫“鸡兔同笼”问题。解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比较，看差多少，每差一个(4－2)只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以( 4－2 )，就可求出兔的只数。同理，假设全部是兔，可求出鸡。
1、鸡兔同笼共80头，208只脚，鸡和兔各有几只？
分析：
假设这80头全是鸡，那么，脚应是2×80＝160 (只)，比实际少 208－160＝48 (只)脚，这是因为1只兔有4只脚，把它看成是2只脚的鸡了，每只兔少算了2只脚，共少算了48只脚，48里面有几个2，就是几只兔。
解：( 208－2×80 )÷( 4－2 )
＝48÷2
＝24 (只)------ 兔
80－24＝56 (只)
答：鸡有56只，兔有24只。
也可以假设80只全是兔，解答如下：
解：( 4×80－208 )÷( 4－2 )
＝112÷2
＝56 (只)------ 鸡
80－56＝24 (只)
2、小明参加一次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得10分，错一题扣5分，小明共得了70分，他做对了几道题？
分析：
假设他做对了10道题，那么应得10×10＝100 (分)，而实际只得70分，少30分，这是因为每做错一题，不但得不到10分，反而倒扣5分，这样做错一题就会少10＋5＝15 (分)，看30分里面有几个15分，就错了几题。
解：( 10×10－70 )÷( 10＋5 )
＝30÷15
＝2 (道)------错题
10－2＝8 (道)
答：他做对了8道题。
3、有面值5元和10元的钞票共100张，总值为800元。5元和10元的钞票各是多少张？
分析：
假设100张钞票全是5元的，那么总值就是5×100＝500 (元)，与实际相差800－500＝300元
差的300元，是因为将10元1张的算作了5元的，每张少计算10－5＝5 (元)，差的300元里面有多少个5元，就是多少张10元的钞票。
解：( 800－5×10 )÷( 10－5 )
＝300÷5
＝60 (张)------ 10元面值
100－60＝40 (张)
答：有10元的钞票60张，5元的钞票40张。
4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，三种动物各多少只？(蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿2对翅膀，蝉6条腿1对翅膀 )
分析：
假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是6条腿，那么总腿数是6×21＝126 (条)，比实际少140－126＝14(条)，这是因为一只蜘蛛是8条腿，把它算作6条腿，每只蜘蛛少计算了8－6＝2 (条)，少算的14条里面有几个2条，就是几只蜘蛛，即14÷2＝7 (只)。从总只数里减7只蜘蛛，就得21－7＝14 (只)是蜻蜓和蝉的和。再假设这14只全是蜻蜓，那么翅膀应是2×14＝28 (对)比实际多28－23＝5 (对)，这是因为蝉是1对翅膀，把它算成2对了，每只蝉多算了1对翅膀多出的这5对翅膀里面有几个1对，就是几只蝉。求出了蝉，蜻蜓可求。
解：( 140－6×21 )÷( 8－6 )
＝14÷2
＝7 (只)------蜘蛛
21－7＝14 (只)
( 2×14－23 )÷( 2－1 )
＝5÷1
＝5 (只)-------蝉
14－5＝9 (只)------蜻蜓
答：蜘蛛7只，蜻蜓9只，蝉5只。
第三章年龄问题
解题关键：“年龄问题”的基本规律是：不管时间如何变化，两人的年龄的差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键。分析时，可借助线段图分析，结合和倍、差倍、和差等问题分析方法，灵活解题。
1、爸爸今年42岁，女儿今年10岁，几年前爸爸的年龄是女儿的5倍？
分析：
要求几年前爸爸的年龄是女儿的5倍，首先应求出那时女儿的年龄是多少？爸爸的年龄是女儿的5倍，女儿的年龄是1倍，爸爸比女儿多5－1＝4 (倍)，年龄多42－10＝32 (岁)，对应，可求出1倍是多少，即女儿当时的年龄。
解：( 42－10 )÷( 5－1 )
＝32÷4
＝8 (岁)
10－8＝2 (年)
答：2年前爸爸的年龄是女儿的5倍。
2、父亲今年比儿子大36岁，5年后父亲的年龄是儿子的4倍，今年儿子几岁？
分析：
父亲今年比儿子大36岁，5年后仍然大36岁。父亲年龄是儿子的4倍，说明儿子的年龄是1倍，父亲比儿子大4－1＝3 (倍)，可求出1倍是多少岁，即5年后儿子的年龄，那么，现在几岁可求出。
解：36÷( 4－1 )
＝36÷3
＝12 (岁)
12－5＝7 (岁)
答：今年儿子7岁。
3、今年母女年龄和是45岁，5年后母亲的年龄正好是女儿的4倍，今年妈妈和女儿各多少岁？
分析：
今年母女年龄和是45岁，五年后母女年龄和是45＋5×2＝55 (岁)，母亲年龄是女儿的4倍，女儿年龄是1倍，母女年龄和的倍数是4＋1＝5 (倍)，对应，可求出5年后女儿的年龄，今年她们的年龄可求。
解：( 45＋5×2 )÷( 4＋1 )
＝55÷5
＝11 (岁)
11－5＝6 (岁) 45－6＝39 (岁)
答：妈妈今年39岁，女儿6岁。
4、今年甲、乙、丙三人的年龄和为60岁，3年后甲比乙大6岁，丙比乙小3岁，三年后甲、乙、丙三人各几岁？
分析：
如图：甲|--------------------------------------------------------|
乙|-----------------------------------------|6岁
丙|----------------------------------|3岁
三年后，三人年龄和是60＋3×3＝69 (岁)，但三人的年龄差不变。从图中可以看出，从三人年龄和中减6加3，刚好等于3个乙的年龄。
解：( 60＋3×3－6＋3 )÷3
＝66÷3
＝22 (岁)
22＋6＝28 (岁)22－3＝19 (岁)
答：三年后甲28岁，乙22岁，丙19岁。
第四章植树问题
解题关键：1、要注意总距离、棵距及棵数三个量之间的关系。
2、要分清图形是否封闭，然后确定是沿线段栽，还是沿周长栽。
3、关系式为：沿线段植树棵数＝总距离÷棵距＋1
沿周长植树棵数＝总距离÷棵距
1、在一段4 0米长的人行道一侧栽树，每隔5米栽一棵樟树，共需要栽樟树多少棵？
分析：
如图： ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀ ♀ ♀ ♀
5米
从图上可以看出，“每隔5米栽一棵”就是将40÷5＝8，平均分成8段，因两端都有一棵树，所以，沿人行道一侧栽树，属沿线段植树。
解：4 0÷5＋1
＝8＋1
＝9（棵）
答：需要栽樟树9棵。
想一想：如果这条人行道两侧都这样栽，需要栽多少棵？应怎样算？
2、沿一段公路两旁种杨树，每隔3米种一棵，一共种了502棵。这段公路长多少米？
分析：
沿公路两旁共种502棵，将502÷2＝251（棵），就得到公路一旁种树棵数（注意将两旁总棵数除以2），它属于沿线段植树问题，根据关系式，将棵数减1，乘棵距，可求出总距离。
解：502÷2＝251（棵）
3×（251－1）
＝3×250
＝750（米）
答：这段公路长750米。
3、把一根4 8厘米的铁棒锯成8厘米长的短铁棒，如果锯一段需要4分钟，锯完这根铁棒需要多少分钟？
分析：如图
将4 8厘米长铁棒锯成8厘米长的短铁棒，就是求4 8厘米里面有几个8厘米，就可锯成几段，从图上可以看出“锯的次数比段数要少1”，锯一段需要4分钟，实际是锯一次要4分钟，求锯完这根铁棒需要多少分钟，先要求出共锯多少次。
解：48÷8－1＝5（次）
4×5＝20（分钟）
答：锯完这根铁棒需要20分钟。
4、在一个人工湖周围每隔6米种一棵柳树，一共种了180棵。再在相邻的两棵柳树间每隔2米种一株月季，问，一共需要多少株月季？
5、分析：
6、在人工湖周围种树，属于在封闭图形上栽树问题，即沿周长植树，根据关系式：
7、总距离＝棵距×棵数，人工湖周长为6×180＝1080（米）
8、如果湖的周围没有柳树，全是每隔2米种的月季，月季共1080÷2＝54 0（株），而实际其中种有柳树180棵，那么，月季株数应为540－180＝360（株）。
9、 解：6×180÷2－180
10、＝540－180
11、＝360（株）
12、答：一共需要360株月季。
13、解法二：人工湖周围每隔6米种一棵柳树，共种180棵，就是将湖的周长平均分成180段，每段长6米，因为这6米的两头已种柳树，所以这中间只能种6÷2－1＝2（株）月季，共需月季列式为：
14、（6÷2－1）×180
15、＝2×180
16、＝360（株）
第五章盈亏问题
解答公式：两次分配的结果差÷两次分配数差＝人数
或，由于参加分配的总人数不变，参加分配的物品总数不变，因此，可根据
第一种分法的人数＝第二种分法的人数
第一种分法物品总数＝第二种分法物品总数，列出方程来解。
1、一批树苗，如果每人种树苗8棵，则缺少3棵；如果每人种7棵，则有4棵没人种。求参加种树的人数是多少？这批树苗共有多少棵？
分析：
每人种8棵，则缺少3棵，也就是少3棵。每人种7棵，则有4棵没人种，也就是多4棵。
那么两次分配的结果差是3＋4＝7， 两次分配的数差是 8－7＝1
种树人数是：7÷1＝7（人）树苗总数是：8×7－3＝53（人）
解法一：（3＋4）÷（8－7）
＝7÷1
＝7（人）
8×7－3＝53（棵）
答：参加种树的人数是7人，这批树苗共有53棵。
解法二：这道题种树人数不变，树苗总棵数不变，若设种树人数为X人，根据第一种分法的树苗总棵数＝第二种分法的树苗总棵数，列方程解。
解：设种树人数为X人，列方程得
8X－3＝7X＋4
8X－7X＝4＋3
X＝7
8×7－3＝53（棵）
答：（略）
2、幼儿园老师把一堆苹果分给小朋友，如果每人分6个，则少10个，每人分4个，还少2个。有多少小朋友？有多少个苹果？
分析：
两次分配都不足，则两次不足数量差就是两次分配的结果差，结果差÷分配差＝人数
解：（10－2）÷（6－4）
＝8÷2
＝4（人）
6×4－10＝14（个）
答：有4个小朋友，有14个苹果。
3、学校安排新生住宿，若每间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍，求住宿的学生和宿舍各有多少？
分析：
每间住6人，多出34人，就是不足34张床位；每间住7人，多出4间宿舍，就是多出7×4＝28张床位。两次分配的结果差就是（34＋28），结果差÷分配差＝宿舍
解： （34＋28）÷（7－6）
＝62÷1
＝62（间）
6×62＋34＝406（人）
答：住宿的学生共406人，宿舍有62间。
4、学生分练习本，其中两个人每人分6本，其余每人分4本，则多2本；如果有一个学生分8本，其余每人分6本，则不足18本。学生有多少人？练习本有多少本？
分析：
1、有两人分6本，其余每人分4本，余2本，若将分6本的这两人也分4本，那么这两人又每人余2本，共余2×2＋2＝6（本）。
2、一个学生分8本，其余分6本，不足18本。若将分8本这个学生也同样分6本，则不足应是18－2＝16（本）。
那么，两次分配的结果差是16＋6＝22（本），分配差是6－4＝2（本）
结果差÷分配差＝人数
解：6－4＝2（本）2×2＋2＝6（本）8－6＝2（本）18－2＝16（本）
（16＋6）÷（6－4）
＝22÷2
＝11（人）
4×11＋6＝50（本）
答：学生有11人，练习本有50本。
5、一工人加工一批机器零件，限期完成，他计划每小时做10个，还差3个零件完成任务，每小时做11个，恰好限期内完成了任务。他加工的零件是多少个？限几小时完成？
分析：
每小时做10个，差3个，每小时做11个，恰好完成，那么，两次分配的结果差是3个，两次分配的数差是11－10＝1（个）。根据，结果差÷分配差＝限时数
解：3÷（11－10）
＝3÷1
＝3（小时）
10×3＋3＝33（个）
答：他加工的零件是33个，限3小时完成。
解法二：设限X小时完成，根据第一种分法和第二种分法零件个数相等，列方程得
11X＝10X＋3
11X－10X＝3
X＝3
11×3＝33（个）答：（略）
第六章流水问题
解题关键：船速：船在静水中航行速度；水速：水流动的速度；
顺水速度：顺水而下的速度＝船速＋水速；
逆水速度：逆流而上的速度＝船速－水速。
流水问题具有行程问题的一般性质，即 速度、时间、路程。可参照行程问题解法。
1、一只油轮，逆流而行，每小时行12千米，7小时可以到达乙港。从乙港返航需要6小时，求船在静水中的速度和水流速度？
分析：
逆流而行每小时行12千米，7小时时到达乙港，可求出甲乙两港路程：12×7＝84（千米），返航是顺水，要6小时，可求出顺水速度是：84÷6＝14（千米），顺速－逆速＝2个水速，可求出水流速度（14－12）÷2＝1（千米），因而可求出船的静水速度。
解： （12×7÷6－12）÷2
＝2÷2
＝1（千米）
12＋1＝13（千米）
答：船在静水中的速度是每小时13千米，水流速度是每小时1千米。
2、某船在静水中的速度是每小时15千米，河水流速为每小时5千米。这只船在甲、乙两港之间往返一次，共用去6小时。求甲、乙两港之间的航程是多少千米？
分析：
1、知道船在静水中速度和水流速度，可求船逆水速度 15－5＝10（千米），顺水速度15＋5＝20（千米）。
2、甲、乙两港路程一定，往返的时间比与速度成反比。即速度比 是 10÷20＝1：2，那么所用时间比为2：1。
3、根据往返共用6小时，按比例分配可求往返各用的时间，逆水时间为 6÷（2＋1）×2＝4（小时），再根据速度乘以时间求出路程。
解：（15－5）：（15＋5）＝1：2
6÷（2＋1）×2
＝6÷3×2
＝4（小时）
（15－5）×4
＝10×4
＝40（千米）
答：甲、乙两港之间的航程是40千米。
3、一只船从甲地开往乙地，逆水航行，每小时行24千米，到达乙地后，又从乙地返回甲地，比逆水航行提前2. 5小时到达。已知水流速度是每小时3千米，甲、乙两地间的距离是多少千米？
分析：
逆水每小时行24千米，水速每小时3千米，那么顺水速度是每小时 24＋3×2＝30（千米），比逆水提前2. 5小时，若行逆水那么多时间，就可多行 30×2. 5＝75（千米），因每小时多行3×2＝6（千米），几小时才多行75千米，这就是逆水时间。
解：24＋3×2＝30（千米）
24×[ 30×2. 5÷（3×2）]
＝24× [ 30×2. 5÷6]
＝24×12. 5
＝300（千米）
答：甲、乙两地间的距离是300千米。
4、一轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行要8小时行完全程，逆水航行要10小时行完全程。已知水流速度是每小时3千米，求甲、乙两码头之间的距离？
分析：
顺水航行8小时，比逆水航行8小时可多行6×8＝48（千米），而这48千米正好是逆水（10－8）小时所行的路程，可求出逆水速度 4 8÷2＝24（千米），进而可求出距离。
解：3×2×8÷（10－8）
＝3×2×8÷2
＝24（千米）
24×10＝240（千米）
答：甲、乙两码头之间的距离是240千米。
解法二：设两码头的距离为“1”，顺水每小时行 1/8，逆水每小时行1/10，顺水比逆水每小时快1/8－1/10，快6千米，对应。
3×2÷（1/8－1/10）
＝6÷1/40
＝24 0（千米）
答：（略）
5、某河有相距12 0千米的上下两个码头，每天定时有甲、乙两艘同样速度的客船从上、下两个码头同时相对开出。这天，从甲船上落下一个漂浮物，此物顺水漂浮而下，5分钟后，与甲船相距2千米，预计乙船出发几小时后，可与漂浮物相遇？
分析：
从甲船落下的漂浮物，顺水而下，速度是“水速”，甲顺水而下，速度是“船速＋水速”，船每分钟与物相距：（船速＋水速）－水速＝船速。所以5分钟相距2千米是甲的船速5÷60＝1/12（小时），2÷1/12＝24（千米）。因为，乙船速与甲船速相等，乙船逆流而行，速度为24－水速，乙船与漂浮物相遇，求相遇时间，是相遇路程120千米，除以它们的速度和（24－水速）＋水速＝24（千米）。
解：120÷[ 2÷（5÷60）]
＝120÷24
＝5（小时）
答：乙船出发5小时后，可与漂浮物相遇。
